Tugas 4

"Identitas Trigonometri Sudut Rangkap" 

1. Buktikan contoh soal di bawah ini!

(sin α)(sin α) + (sin α)(sin α)(cos α)(cos α) + (cos α)(cos α)(cos α)(cos α) = 1

Penyelesaian:

 Pertama² mengubah bentuk di ruas kiri, sehingga sama dengan ruas kanan, yaitu 1. 

Dikarenakan dalam rumus mencari identitas trigonemetri, yang sama dengan 1 adalah (sin α)(sin α) + (cos α)(cos α) = 1. Jadi, kita akan menampilkan bentuk tersebut. 

Setelah difaktorkan, hasilnya adalah (sin α)(sin α) + (cos α)(cos α) [(sin α)(sin α)+ (cos α)(cos α)].

Lihatlah yang ada di dalam kurung kotak, bentuknya sudah bisa diganti dengan 1. Sehingga, diperoleh (sin α)(sin α) + (cos α)(cos α)[1] yang sama dengan (sin α)(sin α) + (cos α)(cos α).

2. Apabila tan 9°= p. Tentukanlah nilai dari tan 54° !

Jawaban:

tan 54° = tan (45° + 9°)

= tan 45° + tan 9°/1 – tan 45° x tan 9°

= 1 + p/1 – p

Sehingga, hasil nilai dari tan 54° adalah = 1 + p/1 – p.

3. Hitunglah nilai dari sin 105° + sin 15° !

Jawaban:

sin 105° + sin 15° = 2 sin ½ (105+15)°cos ½ (105-15)°

= 2 sin ½ (102)° cos ½ (90)°

= sin 60° cos 45° = 1/2 √ 3 . 1/2 √ 2 = 1/4 √ 6

Maka nilai dari sin 105° + sin 15° adalah 1/4 √ 6.

4. Tentukan nilai dari (sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α !

Pembahasan

Karena keterbatasan ruang dan pengkodean, jadi soal di atas dikerjakan masing-masing agar tidak terlalu panjang.

(sin α - cos α)2 = sin2 α - 2 sin α. cos α + cos2 α

⇒ (sin α - cos α)2 = sin2 α + cos2 α - 2 sin α. cos α

⇒ (sin α - cos α)2 = 1 - 2 sin α. cos α

Selanjutnya :

(sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α = 1 - 2 sin α. cos α + 2 sin α cos α

⇒ (sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α = 1

Jadi, (sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α = 1.

5. Buktikan bahwa sec4 α - sec2 α = tan4 α + tan2 α !

Pembahasan

sec4 α - sec2 α = tan4 α + tan2 α

⇒ sec2 α (sec2 α - 1) = tan2 α (tan2 α + 1)

⇒ sec2 α (tan2 α) = tan2 α (sec2 α)

⇒ sec2 α . tan2 α = sec2 α . tan2 α

Jadi, sec4 α - sec2 α = tan4 α + tan2 α = sec2 α . tan2 α.